Het project is gewijd aan de actief ontwikkelende gebieden van niet-commutatieve analyse, gevoed door sterke recente vorderingen in de globale kwantiseringstheorieën en functionaalanalyse van nilpotente Lie-groepen. We gaan vooral in de setting van (homogene) Carnot-groepen (of gestratificeerde groepen) werken. Dit zijn de nilpotente Lie-groepen waarvoor herhaalde commutatoren van de bijbehorende vectorvelden de hele Lie-algebra overspannen. Dergelijke groepen spelen een centrale rol in de sub-Riemann-analyse, waardoor technieken uit analyse, meetkunde, algebra en de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen kunnen worden gebruikt. In dit project zullen we ons concentreren op drie belangrijke gerelateerde problemen: Log-Sobolev ongelijkheden, ondergrenzen en evolutie-partiële differentiaalvergelijkingen, allemaal in de setting van Carnot-groepen. Eerder hebben we Log-Sobolev-ongelijkheden voor algemene Carnot-groepen bewezen, en hier proberen we ze vast te stellen in abstracte Hilbert-ruimten, en de beste constante te vinden in het geval van de Heisenberg-groep, en vervolgens door te geven aan de oneindige dimensionale versie ervan.Tegelijkertijd zouden de ondergrenzen zoals Gårding, scherpe Gårding en Fefferman-Phong-ongelijkheden op Carnot-groepen effectieve manieren bieden om om te gaan met hypoelliptische partiële differentiaaloperatoren en hun evoluties. Merk op dat dit open en uitdagende problemen zijn die we willen aanpakken binnen dit project.