Groeperen en rangschikken van alternatieven zijn twee fundamentele aspecten van elk beslissingsproces, gaande van dagdagelijkse taken tot geavanceerde wetenschappelijke probleemstellingen zoals clustering-, classificatie- en regressievraagstukken in machinaal leren.  Waar groeperen leidt tot een symmetrische relatie (indifferentierelatie), leidt rangschikken tot een antisymmetrische relatie (preferentierelatie). Indien eveneens de bijkomende relationele eigenschap `transitiviteit’ voldaan is, dan resulteert groeperen in een equivalentierelatie, terwijl rangschikken resulteert in een partiële orderelatie. Deze transitiviteitseigenschap is echter minder evident en  vormt het onderwerp van heel wat paradoxen. Zo is indifferentie/similariteit niet noodzakelijk transitief (paradox van Poincaré, paradox van Luce) terwijl preferentie tot cykels kan leiden (zoals Blad-Steen-Schaar). Bovenstaande inzichten zijn hoofdzakelijk beperkt tot klassieke Boolese binaire relaties, terwijl ik reeds heel wat bijdragen geleverd heb in de context van vaagrelaties, een veralgemening van binaire relaties die toelaat verwantschappen op graduele manier uit te drukken. De hoofdlijnen van dit onderzoek, alle gerelateerd aan de transitiviteitseigenschap, zijn de volgende:

Reciproke relaties en stochastische ordeningen.

Een belangrijke situatie is deze waarbij de alternatieven geïdentificeerd kunnen worden met toevalsveranderlijken (zoals opbrengst, pollutie, ...). “Stochastische ordeningen” hebben als doel deze toevalsveranderlijken te ordenen. Diverse aanpakken zijn hierbij mogelijk, zoals one-versus-one en one-versus-all. De notie van “winning probabiliteiten” speelt daarbij een centrale rol en kadert in het relationele raamwerk van “reciproke relaties”. Er wordt echter vaak enkel rekening gehouden met paarsgewijze afhankelijkheden en niet met de gehele afhankelijkheidsstructuur (zoals die kan gecapteerd worden door het concept van een n-copula); tevens wordt het vergelijken van toevalsvectoren nog niet beschouwd; ongetwijfeld is hier een link met mijn werk betreffende additieve preferentiestructuren. Eerder onderzoek legde verrassende resultaten bloot: transitiviteits-eigenschappen van reciproke relaties kunnen uitgedrukt worden als corresponderende eigenschappen van vaagrelaties die op triplet-niveau met een minimale probabiliteit geldig zijn. Deze inzichten kunnen leiden tot het definiëren van andere wiskundige eigenschappen op gelijkaardige frequentistische wijze en een algemeen kader bieden om vaak al te stringente wiskundige definities dichter bij de realiteit te brengen. Heel wat onderzoeksvragen dringen zich hierbij op.

Ternaire en hogere-orde relaties.

De hoofdmoot van het internationaal wetenschappelijk onderzoek richt zich op binaire relaties, i.e. paarsgewijze relaties. Vanuit de toepassingen neemt de interesse voor ternaire relaties echter toe (bv. in paradigma voor kennisrepresentatie, hogere-orde interacties in ecologische networken, etc.). De theorie hinkt echter achterop. Recent pas heb ik een uitgebreide studie afgerond betreffende samenstellingen van ternaire relaties (waarmee dan weer nieuwe transitiviteitseigenschappen corresponderen). Deze volgen echter nog steeds het klassieke denkpatroon waarbij restricties op bepaalde tripletten ontstaan door het voldaan zijn van twee clauses voor gerelateerde tripletten; in deze tripletten kunnen vier of vijf punten betrokken zijn. Een niet-gepubliceerd resultaat uit de herfst van 2024 bracht een verrassende nieuwe compositie van ternaire relaties aan het licht die gebaseerd is op het voldaan zijn van drie clauses. De corresponderende transitiviteitseigenschap blijkt een rol te spelen in de karakterisatie van road systems. Dit geeft aan dat het onderzoek naar transitiviteitseigenschappen van ternaire Boolese relaties nog in de kinderschoenen staat, wat dan uiteraard ook zo is voor het relationele raamwerk van ternaire vaagrelaties. In dit kader zal bijzondere aandacht besteed worden aan het heropwaarderen van het concept betweenness relation.

Meerpuntseigenschappen.

Eigenschappen van relaties kunnen ingedeeld volgens het aantal punten waarop ze restricties leggen. Zo heeft transitiviteit van binaire relaties betrekking op drie punten en die van ternaire relaties op vier of vijf punten. Bovendien zijn er eigenschappen van binaire (vage en reciproke) relaties die betrekking hebben op vier punten (zoals de Ferrers eigenschap die reeds opdook in de context van winning probabiliteiten). Het is de bedoeling een holistische benadering uit te werken die relationele eigenschappen bestudeert vanuit het standpunt van restricties op een gegeven aantal punten.

Trellises.

De afwezigheid van transitiviteit maakt van een poset (i.e., een partieel geordende verzameling) een psoset (i.e., een pseudo-geordende verzameling), een weinig interessant object. Een belangrijke deelklasse van posets echter wordt gevormd door de zogenaamde tralies: posets waarin elke twee elementen een grootste ondergrens (meet) en een kleinste bovengrens (join) bezitten. Tralies spelen een essentiële rol in heel wat moderne data-analyse methodes zoals formal concept analysis. Een recent herontdekte uitermate boeiende deelklasse van psosets zijn de zogenaamde trellises, waarbij het bestaan van meets en joins behouden wordt. De studie van trellis-geordende semigroepen, als veralgemening van de triangulaire normen die een essentiële rol spelen in transitiviteitseigenschappen van vaagrelaties en reciproke relaties, staat nog in de kinderschoenen. De hernieuwde interesse in trellises roept heel wat hedendaagse wiskundige vragen op.

Deze ogenschijnlijk parallelle onderzoekslijnen vormen een samenhangend en kruisbestuivend geheel dat geënt is op de centrale eigenschap van transitiviteit. Dit onderzoek maakt deel uit van mijn persoonlijk werk, van samenwerking met internationale onderzoekers en occasioneel van doctoraatsstudenten. De opgedane inzichten spelen vervolgens een rol in meer toegepast onderzoek aan de faculteit bio-ingenieurs in mijn onderzoekslijnen betreffende kennisgebaseerde, spatio-temporele en predictieve modellering. Dergelijk onderzoek is meer geschikt  voor doctoraatsstudenten.