Het doel van dit ambitieuze project is om een significante bijdrage te leveren aan het wetenschappelijke onderzoeksprogramma dat meer dan veertig jaar geleden is gestart –met onder meer het werk van Folland and Stein– met als doel het uitbreiden van de technieken uit de Euclidische harmonische analyse naar de algemenere setting van nilpotente Lie-groepen. Mijn bijdrage zal de opbouw van de theorie van Fourier-integraaloperatoren (FIO's) op gegradeerde Lie-groepen zijn. Om de doelen van dit project te bereiken en sommige van de hierboven vernoemde problemen doenbaar te maken, zal ik mij richten op de volgende taken: (i) eerst zal ik de veralgemening van de Euclidische theorie van Fourier-integraaloperatoren van Hörmander en Duistermaat tot de setting van gegradeerde Lie-groepen onderzoeken. Hierbij zal ik mijn expertise gebruiken rond het uitbreiden van pseudo-differentiële theorieën, zoals ik gedaan heb in mijn doctoraat in de context van sub-Riemanniaanse structuren op compacte Lie-groepen; (ii) ik zal de continuïteit van de golf-propagatoren voor een Rockland operator R of voor de macht Rθ, 0 ≤ θ < 1, op Lebesgue-ruimten bestuderen. Hiervoor zal ik mijn onderzoekservaringen aanspreken die ik in de laatste acht jaar heb opgedaan bij het bewijzen van begrensdheidseigenschappen van pseudo-differentiaaloperatoren en van FIO's; en (iii) ik wil de geldigheid nagaan van de controleerbaarheid van parabolische en hyperbolische problemen op domeinen van gegradeerde Lie-groepen.