Dit project heeft als doel om een theorie van pseudo-differentiaaloperatoren te ontwikkelen en hun analytische en operatortheoretische eigenschappen te bestuderen met hun toepassingen voor partiële differentiaalvergelijkingen op fundamentele domeinen van roosters. Dit gebied van periodieke pseudo-differentiaaloperatoren is nog steeds grotendeels onontdekt, hoewel het waardevolle resultaten voor periodieke partiële differentiaalvergelijkingen zou omvatten. Om de opbouw van deze theorie in perspectief te plaatsen merken we op dat fundamentele domeinen van roosters corresponderen met lineair vervormde tori waar we de pseudo-differentiële calculus op variëteiten kunnen toepassen. Dit zal enkel tot een lokale notie van symbolen leiden, terwijl voor veel problemen bij partiële differentiaalvergelijkingen een globaal symbool nodig is. Hoewel een representatie-theoretische aanpak voor een globale kwantisatie van operatoren op compact Lie-groepen onderzocht is, zijn deze middelen te abstract en indirect om mee te werken in onze setting. Dit werk zal concrete analyse opleveren gebaseerd op de allernieuwste ontwikkelingen in meerdere sterk gerelateerde domeinen: pseudo-differentiële analyse op groepen, afschattingen voor niet-commutatieve Fourier- en spectraalmultiplicatoren, en hun vele toepassingen voor partiële differentiaalvergelijkingen. Op lange termijn zal dit onderzoek uitgebreid worden naar moeilijkere settings in de context van aperiodieke orde, zoals quasikristallen.