De theorie van partiële differentiaaloperatoren is een van de belangrijkste takken van de wiskunde met verschillende gevolgen op veel andere wiskundige gebieden en met toepassingen in andere wetenschappen. Dit project, dat van theoretische aard is, is bedoeld om de geldigheid van de Fefferman-Phong, de Hörmander en de Melin-ongelijkheden voor partiële differentiaaloperatoren, en in het algemeen voor pseudo-differentiële operatoren, op compacte Lie-groepen te onderzoeken en toe te passen op de probleem van oplosbaarheid van gedegenereerde partiële differentiaaloperatoren. De analyse van partiële differentiaaloperatoren vereist de studie van geometrische grootheden die aan de operatoren zijn gehecht, in het bijzonder het (totaal) symbool, het hoofdsymbool en het subprincipale symbool. In de context van compacte Lie-groepen is het hoofdsymbool echter globaal goed gedefinieerd, maar het is niet hetzelfde voor de andere hierboven genoemde symbolen. Ons doel is om op een geschikte manier de andere geometrische grootheden te definiëren die nodig zijn bij de analyse van het probleem en deze te gebruiken om ondergrenzen te verkrijgen voor partiële differentiaaloperatoren op compacte Lie-groepen (d.w.z. de Fefferman-Phong, de Hörmander en de Melin-ongelijkheden). Deze ondergrenzen zullen worden gebruikt om het probleem van oplosbaarheid van partiële differentiaaloperatoren op compacte Lie-groepen te behandelen. We merken op dat de validiteit van deze ongelijkheden de ontwikkeling van verschillende resultaten zal opleveren in de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen op compacte Lie-groepen, zoals bijvoorbeeld in de problemen met betrekking tot oplosbaarheid, hypoellipticiteit en de welbevinden van de (zwak- hyperbolisch) Cauchy-probleem.