Het onderzoeksvoorstel is gewijd aan het bevorderen van verschillende belangrijke aspecten van de niet-commutatieve analyse en de toepassingen ervan op partiële differentiaalvergelijkingen (PDV), gevoed door sterke recente ontwikkelingen in de kwantiseringstheorieën en analyse op nilpotente Lie-groepen. Enerzijds zullen we werken aan de ontwikkeling van de niet-commutatieve Beals-Fefferman-theorie en de implicaties ervan. Deze theorie is een van de belangrijkste doorbraken van de klassieke theorie van pseudo-differentiaaloperatoren, maar er is tot nu toe heel weinig bekend over de niet-commutatieve versie ervan. Met een ontwikkelde theorie zal men eindelijk in staat zijn om verschillende ongrijpbare problemen aan te pakken, zoals bijvoorbeeld scherpe Gärding-ongelijkheden op gestratificeerde Lie-groepen. Anderzijds is het project gewijd aan ontwikkelingen in de globale well-posedness-theorie van partiële differentiaalvergelijkingen, gebaseerd op de technieken van niet-commutatieve analyse. Een van de opvallende voorbeelden van een dergelijke aanpak is de oplossing door Rothschild en Stein van de vraag om scherpe subelliptische ordes en schattingen te vinden voor algemene Hörmander's kwadratensommen. Het project is gericht op het toepassen van een dergelijke filosofie voor het bepalen van de scherpe Fujita-exponen voor de globale in-time oplosbaarheid/opblazen van oplossingen van semi-lineaire warmtevergelijkingen voor algemene Hörmander's kwadratensommen.