De doelstellingen van dit project zijn het bepalen van nieuwe algebraïsche structuren, het classificeren van hun representaties en het bestuderen van hun connectie met Dirac-cohomologie.

De symmetrieën van een deformatie van de Dirac-operator vormen een interessante algebraïsche structuur, die niet voorkomt in het klassieke geval. Concreet werken we in een deformatie van de Weyl-algebra der lineaire differentiaaloperatoren met polynomiale coëfficiënten, zijnde een rationale Cherednik-algebra, of een abstracte veralgemening daarvan. In het tensorproduct met een Clifford-algebra, bepalen we de deelalgebra van alle elementen die (anti)commuteren met de Dirac-operator en diens gekende deelalgebra. Het voorkomen van twee commuterende algebraïsche structuren is nauw verwant aan het concept Howe-dualiteit, dat als speciale gevallen ook Schur-Weyl-dualiteit en de decompositie van veeltermen door middel van sferische harmonieken omvat.

In dit project zullen we enerzijds de methodiek van duale paren en symmetrieën uitbreiden naar deformaties van de abstracte Dirac-elementen die in Dirac-cohomologie voorkomen. Anderzijds zullen we voor de symmetrie-algebra’s die zo verschijnen hun actie op de veeltermruimte beschouwen, en door gebruik te maken van de dualiteit hun representaties identificeren en classificeren. Door deze resultaten te combineren, verwachten we een notie van Dirac-cohomologie te ontwikkelen voor de abstracte veralgemening van de rationale Cherednik-algebra's.