In zijn eenvoudigste vorm beweert de befaamde eerste onvolledigheidsstelling van Gödel dat er ware uitspraken over natuurlijke getallen bestaan die niet uit het systeem van standaardaxioma's voor natuurlijke getallen volgen. Vaak ondergaan deze uitspraken een faseovergang. Een voorbeeld uit het dagelijkse leven voor een faseovergang bestaat in de overgang van ijs naar water of van water naar waterdamp. Voor een faseovergang in de logica stel u voor dat we uitgaan van een uitspraak A die afhankelijk is van een parameterfunctie f zo dat A bewijsbaar is voor traag groeiende f en dat A waar blijft maar onbewijsbaar wordt als f snel groeit. In dit project beogen wij de drempelwaarden voor de faseovergang van bewijsbaarheid naar onbewijsbaarheid te klasseren. Om goede karakteriseringen van de faseovergang te bereiken combineren wij methoden uit de logica met methoden uit andere hoeken van de wiskunde zoals reële analyse en combinatoriek.
In het bijzonder gaan we  methoden van de theorie van ordinalen en de theorie van subrecursieve hiërarchieën toepassen.
We klasseren de faseovergang voor Goodstein principes. Als spin offs verkrijgen we resultaten over de maximale lengte van Goodsteinrijen, gemodificeerde Goodstein principes, en functoriële Goodsteinstellingen. Verder klasseren wij de faseovergang voor Friedman's stelling van Bolzano-Weierstrass. We vermoeden dat we  we onverwachte en verregaande toepassingen van Ecalles transseries in de bewijstheorie als spin off gaan verkrijgen.