Een maat op een metrische ruimte wordt verdubbelend genoemd als de maat van elke bal, ongeacht de grootte, vergelijkbaar is met de maat van de bal met hetzelfde middelpunt en de halve straal. Als een maat enkel verdubbelend is op ballen van uniform begrensde stralen, dan wordt deze maat lokaal verdubbelend genoemd. In dit voorstel focussen we op drie centrale onderwerpen in harmonische analyse, waarvan de setting een gladde variëteit is voorzien van een lokaal verdubbelende maat die afhangt van een positieve functie, die we een "gewicht" noemen. Deze onderwerpen houden sterk verband met bepaalde afleidingsoperatoren op de variëteiten, gewogen Laplacianen genaamd, die gelijkaardig zijn aan de Laplaciaan in de Euclidische setting. 1) Functieruimten op Lie-groepen. We zullen onder andere inbeddingsstellingen en algebraïsche eigenschappen van Sobolev-, Besov-, en Triebel-Lizorkinruimten bestuderen, alsook de rol die zij spelen in de studie van niet-lineaire PDV geassocieerd met invariante operatoren op de groepen. 2) Hardyruimten op gewogen variëteiten. In het bijzonder zullen we de Euclidische ruimte uitgerust met hetzij de Gaussmaat, hetzij de maat wiens dichtheid de inverse is van de Gaussische functie, beschouwen. 3) Spectrale eigenschappen van gewogen sub-Laplacianen op gelaagde groepen. We zullen enkele nodige en/of voldoende voorwaarden voor het discreet-zijn van hun spectra onderzoeken, door het bestuderen van geassocieerde operatoren van Schrödinger type.